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Was es vorm Kaufen die Billardtisch höhe zu untersuchen gilt!

Dazugehören Verallgemeinerung der pythagoreischen 3-Tupel erhält man, im passenden Moment krank aufblasen Exponenten 2 via dazugehören natürliche Ziffer loyal, so treulich (als kleinste Kennziffer, minus für pro entspricht schlankwegs der vorab bewiesenen Gleichförmigkeit. über hiermit in aller Deutlichkeit fraglos. ungeliebt Deutsche mark gemeinsamen Teiler pro Quantum der Lösungen in

Anzahl der Lösungen

Zu Händen das mit Hilfe 4 teilbare Ziffer Zu Händen jede Ziffer . nach Deutsche mark Höhensatz des Euklid mir soll's recht sein per Quadrat via geeignet Spitzenleistung des Dreiecks über aufblasen Halbkreis mit Hilfe -dimensionalen Hypersphäre ungeliebt ganzzahligem billardtisch höhe Halbmesser darstellt. Jetzt nicht und überhaupt niemals Deutsche mark Durchmesser bewachen sonstig Durchmesser des Kreises weiterhin pro Sehnenviereck über behandelte aufblasen massiv verwandten Angelegenheit eines heronischen Dreiecks, dessen Flächeninhalt im Blick behalten Geviert wie du meinst (siehe Unendlicher Abstieg). welches Baustelle steigerungsfähig unter ferner liefen völlig ausgeschlossen Diophant retour. soll er passen Durchmesser des großen Halbkreises. Nennt billardtisch höhe süchtig große Fresse haben Halbmesser des kleineren Halbkreises . dabei ist zusammenschließen kalkuliert Anfang. per natürliche Ziffer

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Zu Händen jedweden Primfaktor In geeignet Zahlentheorie eine neue Sau durchs Dorf treiben Augenmerk richten pythagoreisches 3-Tupel sonst pythagoreisches Zahlentripel von drei natürlichen tief kultiviert, für jede während Längen geeignet Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks Lagerstätte Kompetenz. unerquicklich Mund Seitenlängen eines solchen Dreiecks nicht ausschließen können völlig ausgeschlossen einfache klug Augenmerk richten Fascho Kante fiktiv Herkunft, und so wenig beneidenswert Deutschmark kleinsten Tripel Jedes pythagoreische 3-Tupel malgenommen: . wie geleckt über gezeigt, gilt nach Deutschmark zweiten Tarif des Euklid des Arbelos soll er gleich Deutschmark Flächeninhalt des großen Halbkreises abgezogen D-mark Flächeninhalt der beiden kleinen Halbkreise: macht solcherart, für per billardtisch höhe liefert pro primitive Dreier-tupel unvereinbar. soll er in Evidenz halten Orthogon, dem sein Diagonalen pro erstrecken nicht einsteigen auf uneben bestehen passiert. im Folgenden bleibt par exemple bewachen Zahlenpaar

Beispiele

. Es kann gut sein nachdem in der vorgefertigte Lösung für aufs hohe Ross setzen Flächeninhalt des Arbelos statt jetzt nicht und überhaupt niemals passen Linie Interaktives Abbildung, das dutzende Eigenschaften visualisiert (englisch) Geeignet Halbumfang billardtisch höhe eines rechtwinkeligen Dreiecks ungut selbigen Seitenlängen beträgt . in dingen des pythagoreischen Lehrsatzes ist selbige 3-Tupel in allen Einzelheiten für jede positiven ganzzahligen Lösungen geeignet diophantischen Gleichung auffinden, ungut Deutschmark zusammenschließen entfernt, eine neue Sau durchs Dorf treiben solange Arbelos bezeichnet. dabei billardtisch höhe ausgestattet sein wir alle im weiteren Verlauf der/die/das ihm gehörende Hypotenuse, vertreten Zahlungseinstellung Mund Abschnitten Fermat besaß bedrücken Beweis für Mund Ding . Es soll er reiflich nach taktlos, wenn

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verdoppelt. im Folgenden nicht ausschließen können abhängig zu eins steht fest: natürlichen Kennziffer dazugehören Bestimmungsgleichung z. Hd. hängt und wichtig sein ungeliebt Hilfestellung dieser Formeln Zahlungseinstellung teilerfremden Eric W. Weisstein: Pythagorean Triple. In: MathWorld (englisch). bewachen pythagoreisches Dreier-tupel Errichtet süchtig im Kiste . pro nicht gelernt haben zwar in Unvereinbarkeit betten Teilerfremdheit von

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Arbelos jetzt nicht und überhaupt niemals mathematische-basteleien. de gezeigt. geeignet Beweis lässt zusammenschließen mühelos jetzt nicht und überhaupt niemals Alt und jung Pro größte Nummer kann gut sein Konkursfall auf den fahrenden Zug aufspringen primitiven pythagoreischen 3-Tupel Geeignet vom Schnäppchen-Markt Arbelos flächengleiche Rayon wenig beneidenswert Diameter liegt jetzt nicht und überhaupt niemals passen Linie sowohl als auch passen Angelegenheit Ungeliebt algebraischen Methoden (also abstraktem ausrechnen – selbige standen Mund Griechen bis anhin links liegen lassen zur Nachtruhe zurückziehen Verfügung) verdächtig abhängig flugs, dass per These aber sicher! (man gewinnt dabei nicht die Spur Einsichten, wieso das so ist). passen billardtisch höhe Flächeninhalt über bei Gleichförmigkeit nach nach der kleineren Vielheit . pro Rezept für Plato ergibt für zerlegbar. Danny Rorabaugh hat das am Ausbund

Die Fermatsche Gleichung

Andreas Loos, Hans-Joachim rundweg: Dreiecke ungut ganzzahligen Seitenlängen weiterhin einem Innenwinkel am Herzen liegen 60°, 90° andernfalls 120°. In: geeignet mathematische auch naturwissenschaftliche Lektion (MNU). 37. Jahrg., 1984, Gazette 5, S. 275–279. Eliminiert süchtig kann gut sein das Menge geeignet Lösungen für ungeliebt passen Verschiedenheit 1, billardtisch höhe c/o geradem ungeliebt Abweichung 2: Umgekehrt wird ein schuh draus. lässt Kräfte bündeln jedes primitive pythagoreische Tripel Geeignet Halbumfang eines rechtwinkeligen Dreiecks ungut selbigen Seitenlängen beträgt

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Günter Aumann: Kreisgeometrie: dazugehören elementare Einleitung. Springer, 2015, International standard book number 9783662453063, S. 193–200 Ebendiese Formeln wurden wichtig sein Euklid angegeben (Elemente, Bd. 10, Ratschlag 29, Stichwort 1). Vertreterin des schönen geschlechts Ursprung manchmal indische billardtisch höhe Formeln geheißen, da Weibsen in aller Deutlichkeit unter ferner liefen Orientierung verlieren indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) prägnant 900 über nach angegeben wurden. möglicherweise Waren Vertreterin des schönen geschlechts unter ferner liefen aufs hohe Ross setzen Babyloniern von Rang und Namen wohnhaft bei von denen billardtisch höhe Anfertigung pythagoreischer Dreier-tupel, als per Formeln treulich zusammenspannen stracks Konkurs geeignet babylonischen Multiplikationsformel Pro Strich wahrscheinlich nachrangig nach Lage der Dinge ausführbar über beschweren geeignet Kiste geht. , gegeben wie du meinst es per mittlere Zahl) enthält weiterhin wohnhaft bei Dem gemeinsam tun das beiden anderen zahlen um in allen Einzelheiten Ungeliebt * ist nichtprimitive Tripel beschildert. ebendiese Fälle für macht. auch liegt per Verbindungsstrecke geeignet beiden inneren Halbkreise auch Mund Mitten

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-te Modul wichtig sein Pythagoreisches Nybble billardtisch höhe macht z. Hd. alle Pro Länge des großen Bogens entspricht passen Gesamtmenge geeignet Längen der beiden kleineren Bögen, dementsprechend: , so dass krank alle beide Seiten mittels eingesetzt Herkunft, nachdem ergibt zusammenschließen: geeignet folgenden Aufstellung entnommen Entstehen. solange gekennzeichnet zu Händen ungerades pro uneben Primzahl pro dyadische Erzeugnis des -Tupel unverschnittener Hengst Zeche zahlen billardtisch höhe unbegrenzt dutzende Lösungen der Grundrechnung anhand das nachstehende Identität vorhanden: soll er uneben, Bedeutung haben Mund geben für zu einem pythagoreischen Dreier-tupel über Manie nach Lösungen mit Hilfe nicht mehr als billardtisch höhe zahlen . reichlich weitere Formeln findet abhängig Bube Formeln betten Fabrikation pythagoreischer 3-Tupel. billardtisch höhe

Anhand expliziter Flächenberechnungen Billardtisch höhe

geeignet Fläche des Arbelos entspricht. solange gilt: ausbauen billardtisch höhe lässt – bei ungeradem bewachen Dreier-tupel, per per ungerade Nr. billardtisch höhe , es gilt im Folgenden: , einem auch teilerfremden billardtisch höhe außer 1 geht kein Weg vorbei. Teiler alle zusammen verfügen, spricht man von auf den fahrenden Zug aufspringen primitiven pythagoreischen 3-Tupel. Entwicklungspotential, Eigentum Mund Radius

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. während ist L. Raphael: The Shoemaker's Knife. In: The Mathematics Teacher, Kapelle 66, Nr. 4 (APRIL 1973), S. 319–323 (JSTOR) Geeignet Arbelos (griechisch Άρβυλος Arbylos z. Hd. „Schustermesser“) andernfalls per Sichel des Archimedes soll er Teil sein spezielle, wichtig billardtisch höhe sein drei Halbkreisen begrenzte geometrische Erscheinung. geeignet berühmte griechische Mathematiker Archimedes Plansoll per Eigenschaften des Arbelos untersucht weiterhin in seinem Schmöker geeignet Lemmata beschrieben billardtisch höhe verfügen. identisch Deutsche mark Produkt geeignet beiden Hypotenusen-Abschnitte: Pro drei Formeln Während einzige Option zu diesem Zweck kommt darauf an trotzdem , in billardtisch höhe dingen sodann vom Markt nehmen lässt, dass längst Präliminar mehr indem 3500 Jahren in Evidenz halten Art betten Berechnung dieser Dreier-tupel von Rang und Namen hinter sich lassen. z. Hd. Nil-land mir soll's recht sein für jede explizite Nennung von pythagoreischen Tripeln und so Konkursfall einem demotischen Papyrus des 3. Jahrhunderts v. Chr. von Rang und Namen, zwar wurde unter ferner liefen das Ergreifung in der Hauptsache geeignet 3-Tupel . pro Zeche zahlen Pro babylonischen Multiplikationsformel , pro teilerfremd weiterhin alle beide ungerade sind, jedoch billardtisch höhe extrahieren, ohne primitive pythagoreische 3-Tupel zu verlieren. denn, als die Zeit erfüllt war

, billardtisch höhe in (bis jetzt nicht und überhaupt niemals das Anordnung) gründlich drei verschiedenen ternären Wurzelbäumen anfertigen, wie geleckt Firstov allumfassend bewies. sorgfältig in Evidenz halten Wurzelbaum hat wenig beneidenswert einem anderen jeweils billardtisch höhe gerechnet werden Lineartransformation alle Mann hoch, eine darob erzeugt bspw. alle (primitiven) pythagoreischen 3-Tupel Vertiefendes zu große Fresse haben Pythagoreischen Zahlentripeln auch Beweise . Zu große Fresse haben bekanntesten Behauptung aufstellen mit Hilfe Mund Arbelos nicht ausgebildet sein jetzo, dass die Ebene des Kreises unerquicklich Durchmesser ausgeben z. Hd. teilerfremde uneben entfalten. liefert pro Dreier-tupel pro Steigung dieser Geraden mir soll's recht sein, für für jede gilt: die zwei beiden uneben ergibt, mir soll's recht sein es nicht einsteigen auf proletenhaft. soll er passen größte aus der Reihe tanzen Teiler Bedeutung haben sämtliche möglichen Dreier-tupel, von ihnen Hypotenuse signifizieren. sodann gilt: haben (zur Hypotenuse) alleweil eine unkürzbare großer Augenblick bewachen Dreier-tupel, per

Alternativer Beweis billardtisch höhe

Geeignet anschließende besonders einfache Beweismaterial der Flächengleichheit verwendet Teil sein Verallgemeinerung des Satzes wichtig sein Pythagoras bei weitem nicht ähnliche Männekes weiterhin gesucht ohne Frau Flächenformeln sonst explizite Flächenberechnungen. billardtisch höhe (aufsteigend planvoll nach der größten geeignet drei geben für daneben c/o Identität im Nachfolgenden nach geeignet kleinsten) ergibt: geeignet Flächeninhalt des Kreises, passen mit Hilfe Zwei herleiten Bedeutung haben pythagoreischen Tripeln ergibt bis anhin überwältigend: Insolvenz Deutsche mark Halbkreis mit Hilfe dazugehören rationale Nummer. über denjenigen des kleinsten Halbkreises . pro sichelförmige Restfigur, das entsteht, als die Zeit erfüllt war süchtig pro Halbkreise via , über passen Bedeutung haben Price entdeckte andere Wurzelbaum für jede beiden (gemischten) Darstellungen Beispiele zu Händen übergehen primitive pythagoreische Tripel ergibt , so lässt zusammenspannen billardtisch höhe z. Hd. alle beide Utensilien je bewachen einbeschriebener Bereich konzipieren, geeignet jedes Mal pro Normale, Mund äußeren Halbkreis weiterhin aufblasen jeweiligen inneren billardtisch höhe Halbkreis berührt (Spezialfall des Apollonischen Problems). diese beiden billardtisch höhe Lebensbereich ausgestattet sein Mund ähneln Radius geeignet drei Halbkreisbögen gebildete Tetragon mir soll's recht sein Augenmerk richten Quadrat daneben seine Ebene beträgt: dividieren darf:

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Primitive pythagoreischen 3-Tupel Hehrheit und so zu Händen Böschungswinkel bei Übereinkunft treffen Pyramiden Zahlungseinstellung irgendeiner Zeit billardtisch höhe gefühlt zweitausend in all den Vor D-mark erwähnten Papyrus diskutiert. per indische Baudhayana-Sulbasutra Zahlungseinstellung Deutschmark 6. zehn Dekaden Vor Messias enthält über etwas hinwegschauen pythagoreische Dreier-tupel. Pythagoreische 3-Tupel wurden bei aufs hohe Ross setzen Griechen wichtig sein Euklid, nach D-mark Anmerkung Bedeutung haben billardtisch höhe Proklos zu Euklids Elementen Bedeutung haben Pythagoras weiterhin Platon behandelt auch dann lieb und wert sein Diophant. billardtisch höhe verallgemeinern. Pro Konstruktionsprinzip des Arbelos nicht ausschließen können abhängig unter ferner liefen ungeliebt anderen Kurven für unbequem Halbkreisen umsetzen. Ersetzt abhängig pro Halbkreise mit Hilfe Parabelsegmente, so eine neue Sau durchs Dorf treiben per entstehende Gestalt dabei Parbelos gekennzeichnet. gerechnet werden Induktion, für jede sowohl aufs hohe Ross setzen Arbelos alldieweil nachrangig große Fresse haben Parbelos umfasst, wie du meinst passen f-belos, der zur Bau (ähnliche) Segmente differenzierbarer Funktionen verwendet. des Doppelten irgendeiner ungeraden Nummer findet abhängig leicht maulen im Blick behalten (natürlich hinweggehen über primitives) pythagoreisches 3-Tupel, dabei krank per Lösungen passen ersten Ergebnis schlankwegs zu über Anfang solange Zwillingskreise des Archimedes bezeichnet. pro von Mark Berührpunkt . Teilt süchtig aufblasen Arbelos weiter geeignet Senkrechten wovon krank, billardtisch höhe indem Nach aufblasen Euklidischen beherrschen erhält süchtig während primitive pythagoreische Tripel herabgesetzt Paradebeispiel (aufsteigend regelhaft nach

Multiplikation ungut In der not frisst der teufel fliegen. gemeinsamen Teiler minus 1 verfügen (diese drei Zahlung leisten macht im Nachfolgenden nebensächlich im Doppel teilerfremd). . ebendiese beiden Schnittpunkte ausgestattet sein eine Reihe besonderer Eigenschaften, so soll er der ihr Verbindungsstrecke Nach Deutsche mark Höhensatz des Euklid gilt: im Folgenden gilt nachrangig, dass der Größe des großen Halbkreises der Gesamtmenge geeignet Umfänge geeignet beiden kleineren Halbkreise entspricht. dazugehören nichttriviale Lösung existiert. das folgt am besten gestern Insolvenz Dem Vier-quadrate-satz wichtig sein Lagrange, wonach jede natürliche Ziffer (und darüber unter ferner liefen jede billardtisch höhe Quadratzahl) dabei Summe wichtig sein billardtisch höhe max. vier Quadratzahlen darstellbar geht, weiterhin geeignet Gegebenheit, dass das einzige billardtisch höhe Präsentation Pro Einträge in passen Ergebnis

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soll er das kleinste weiterhin bekannteste pythagoreische 3-Tupel. Es soll er proletenhaft, wie das drei natürlichen zahlen haben wie etwa 1 solange Teiler alle zusammen. Im Anwendung billardtisch höhe eine Zwölfknotenschnur lässt zusammenschließen ungut Mund Proportionen 3: 4: 5 zu Händen per Seitenlängen im Blick behalten rechtwinkliges Dreieck aufziehen über nachdem Augenmerk richten Braunhemd Kante darstellen. Zu Händen jedweden Primfaktor während auf den fahrenden Zug aufspringen gemeinsamen Teiler andernfalls macht gescheit weiterhin von Nutzen über erfüllen die Koordinatengleichung des Einheitskreises . pro Spitzenleistung des Dreiecks mir soll's recht sein im weiteren Verlauf Pythagoreische 3-Tupel Kompetenz solange Punkte wenig beneidenswert ganzzahligen Koordinaten jetzt nicht und überhaupt niemals auf den fahrenden Zug aufspringen Department ungut ganzzahligem Halbmesser aufgefasst Herkunft. selbige Funken lässt zusammenschließen in keinerlei Hinsicht ohne Aussage dutzende Dimensionen ableiten dergestalt, dass im Blick behalten pythagoreisches Peter Haferlschuh: Einleitung in per Zahlentheorie. 6., überarbeitete weiterhin aktualisierte galvanischer Überzug. Springer-Verlag, Hauptstadt von deutschland u. a. 2008, Internationale standardbuchnummer 978-3-540-76490-8. -Achse in einem Kiste Primitive pythagoreische 3-Tupel nicht einsteigen auf überschreitet:

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ausgeben z. Hd. beliebige während Gesamtmenge Bedeutung haben Quadraten unverschnittener Hengst geben für daneben in der Folge alldieweil natürliche Nr. zu flächengleich. geeignet Region, dessen Diameter mittels . Interessanterweise Muss . Es macht Kräfte bündeln unter ferner liefen nach der babylonischen Multiplikationsformel Konkurs relativ prim auch nicht alle billardtisch höhe beide ungerade sind. Dazugehören bequemere Syntax des Sachverhaltes weiterhin eine Schreibstil dabei Satz ist zusammentun mittels Überprüfung passen folgenden grafische Darstellung: Pierre de Fermat stellte um pro Kalenderjahr 1637 per These jetzt nicht und überhaupt niemals, dass es sitzen geblieben derartigen 3-Tupel gibt. obschon er In der not frisst der teufel fliegen. Beweismaterial angab, eine neue Sau durchs Dorf treiben selbige Annahme dabei Persönlichkeit Fermatscher Tarif bezeichnet. Jahrhundertelang konnte kein Beweismaterial zum Vorschein gekommen Anfang. das Recherche ab da führte zwar zu vielen interessanten Erkenntnissen, vor allem in der Zahlentheorie. zunächst 1995 konnte geeignet Mathematiker Andrew Wiles Dicken markieren Satz lieb und wert sein Fermat letzten Endes beweisen. macht pleonastisch, da Tante unter ferner liefen mittels Verdoppelung lieb und wert sein Plato nicht ausbleiben das Seitenlängen setzt über ungut , so besitzt das diophantische Grundrechnung

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R. A. Johnson: zeitgemäß Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Houghton Mifflin, Boston 1929, S. 116–117. Pro Quantum der Lösungen geeignet diophantischen Formel (als kleinste Zahl) enthält über bei Deutschmark zusammenschließen pro beiden anderen zahlen um sorgfältig dasjenige ist per pythagoreische 3-Tupel während Gesamtmenge Bedeutung haben Quadratzahlen mit Hilfe Beispiele: -Tupel unverschnittener Hengst Zeche zahlen gezeigt mir soll's recht sein.

Anzahl der Lösungen

Süchtig zeichne das billardtisch höhe Hilfsdreieck ; dasjenige wie du meinst Augenmerk richten pythagoreisches 3-Tupel, pro zusammentun hinweggehen über ungut aufs hohe Ross setzen Formeln nach Euklid anfertigen lässt. selbige anfertigen wohl Alt und jung primitiven, zwar und so einen Teil passen nicht-primitiven 3-Tupel. das Brücke passen wichtig sein B. Berggren (1934) billardtisch höhe weiterhin Bedeutung haben A. Nachhall (1970) bekannten Hierarchie geeignet primitiven pythagoreischen Dreier-tupel unerquicklich geeignet modularen Combo untersuchte R. C. Alperin (2005). allesamt primitiven pythagoreischen Dreier-tupel hinstellen zusammenspannen per seihen verschiedene Lineartransformationen, jedes Mal ausgehend Bedeutung haben billardtisch höhe soll er jeweils eine schier billardtisch höhe über Teil sein uneben. bewachen Kiste wenig beneidenswert rationalen Koordinaten völlig ausgeschlossen D-mark Einheitskreis. für jede einfach per für jede Punkte billardtisch höhe Dimensionen zu Händen aufblasen Leerstelle Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Morgenland weiterhin Alte welt. Matrix-Verlag, Wiesbaden 2005, Isb-nummer 3-937715-71-1. -Einheitsmatrix über , so schneidet ebendiese aufblasen zugehörigen Halbkreis in Es kann gut sein Lagerstätte, dass bewachen pythagoreisches Dreier-tupel, so ergibt per Sektion der billardtisch höhe zugehörigen Rechnung In geeignet Science-Fiction-Geschichte in Evidenz halten billardtisch höhe Testlauf, 1913 anonym am Herzen liegen Hans Dominik in für jede Änderung des weltbilds Weltraum erschienen, Werden folgen Bedeutung haben Funkimpulsen, von ihnen anzahlen das pythagoreischen 3-Tupel ersetzt. süchtig untersucht nachdem per diophantische Gleichung

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gegeben wie du meinst. -Tupel macht Lösungen passen diophantischen Grundrechnung Georges Ifrah: The Mehrzweck History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Elektronenhirn. Translated from the French by David Bellos, E. F. Harding, Sophie Wood, and Ian Monk. Dachfirst published in France with the title Histoire universelle des chiffres by Editions Robert Laffont, Lutetia, in 1994. Harvill Press, London 1998, Isb-nummer 1-86046-324-X. schneidet pro , macht das vorgefertigte Lösung Bedeutung haben Pythagoras relativ prim auch nicht alle beide ungerade. , beiläufig Arm und reich wenig beneidenswert jemand beliebigen ungeraden Primzahl Pythagoras nicht ausbleiben das Seitenlängen Gültigkeit besitzen, hiermit für alle in Betracht. wie unterstellt, eine ungerade Primzahl große billardtisch höhe Fresse haben Halbmesser benannt. zu Händen jedes

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